集合を表記する方法には２つの表し方があります。

（�T）　外延的記法（集合の表示）
　　　　　　　例えば、集合Ａを
　　　　　　　Ａ＝｛１，３，５，７，８，10，12 ｝
　　　　　　　と表記する方法で、元の全てを列挙して表示する方法です。

（�U） 内包的記法（集合の記述）
　　　　　　　先述した集合Ａを
　　　　　　　Ａ＝｛１年のうちの大の月に該当する数字 ｝
　　　　　　　などと表記する方法です。

（�T）の外延的記法は、要素の個数が少ないときには具体的に把握できて、一見便利なようですが、
　　　　「十進法で４桁で表す数の集合」などを表示しようとすると
　　　　　｛1000，1001，1002，1003，… ，9998，9999｝
といった表現にならざるを得ません。もちろん全ての数を羅列しても構わないのですが、眺める方にすれば、9000個も並んだ数字の中に、実はどこか抜けてしまった数があるのではと勘ぐりたくもなります。まして、「1000以上の数」を表すとなれば、
　　　　　｛1000，1001，1002，1003，… ｝
とでも表示することになりますが、これが厳密には外延的記法に相当しないことは言うまでもないでしょう。

また、要素数の少ない先述した集合Ａのような場合でも、
　　　　　｛１，３，５，７，８，10，12 ｝
という数の集合は、なぜ「集まり」になっているのかを知りたいと思ってしまいます（理由なんて本当はどうでもよいのですが…。クイズとしては出題されそうですね）。
　となると、｛１年のうちの大の月に該当する数字 ｝という記述の方が、Ａという集合の性質を互いに共有し易いという意味において（何だか難しい言い回しになっていまいましたが、クイズ番組の正答としては他の理由より納得しやすいだろうといった認識があるということ）内包的記法は便利です。


　集合を図象化、視覚化して扱うには、ベン・オイラーの図式（略してベン図式とかベン図とも呼ばれます。）と呼ばれるものを使うのが便利です。ベン図は次に示すように、１つの集合を平面上に描かれた閉曲線の内部の点（内部の点１個１個を描くわけではないが）で表す図のことです。



集合に含まれる要素を列挙するのなら、

と表すことも可能です。


　さて、対応は複数の集合の間の関係となりますから、集合の関係について考えてみることにしましょう。２つの集合として、例えば集合Ａ，集合Ｂがある場合、両者の関係には一般に次のような分類があると指摘されがちです。

�T）ＡとＢには共通の要素がない場合


�U）ＡとＢには共通の要素がある場合



　しかし、前回も扱いましたが、
ことさらに、集合の重なりについて分類する必要はありません。というのは Ａ∩Ｂ（これを共通部分：積集合といいます）が空集合となるか否かで、例１と例２の区別はつきますし、 が空集合となることで、例２と例３の区別はつくからです。

　ただ、この例３のような集合の包含関係は人間の興味をひくようで、‘⊂’なる記号を用いて、
　　　　　　　　　Ａ⊂Ｂ
と表現されます。


　さて、ここに２つの集合
　　　　　　Ａ＝｛１，３，５，７，８，10，12｝
　　　　　　Ｂ＝｛１，２，３，４，５，６，７，８，９，10，11，12｝
を考えると、
Ａの任意の元は必ずＢの元になっています。
このように２つの集合Ａ,ＢがあってＡの全ての元は、Ｂの元であるとき、ＡをＢの部分集合である。またはＡはＢに含まれるといって、
　　　　　　　　　Ａ⊆Ｂ
と表します。
また、このとき、ＢをＡの超集合である。またはＢはＡを含むといい、
　　　　　　　　　Ｂ⊇Ａ
と表します。


ここで、この２つの集合Ｍ, Ｎの間に、
　　　　　　　　　Ｍ⊇Ｎ かつ Ｍ⊆Ｎ
という関係が成立するとき、集合Ｍ, Ｎは同じ集合であるといって、
　　　　　　　　　Ｍ＝Ｎ
と表記します。
以上のことを（�T）の表記法にしたがって表現すると、
　　　　　　x∈Ａ ⇒ x∈Ｂ が成り立つとき（かつそのときに限り）
ＡはＢの部分集合である。
さらに、上記に加えて、
　　　　　　x∈Ｂ ⇒ x∈Ａ も成り立つとき
ＡとＢは同じ集合である。
となります。
（∈ は元であることを示します。また、⇒は「ならば」とよんで下さい。）


もし、Ａの元は全てＢの元であり、かつＡの元でない元をＢが１つでも含んでいるならば、すなわち、
　　　　　　　　　Ａ⊆Ｂ かつ
であるならば、ＡはＢの真部分集合であるといって、
　　　　　　　　　Ａ⊂Ｂ
で表します。